Diagrama de Minkowski

La línea del universo (ruta amarilla) de un fotón, que está en la ubicación x=0 en el momento ct=0

El diagrama de Minkowski, también conocido como diagrama de espacio-tiempo, fue desarrollado en 1908 por Hermann Minkowski y proporciona una ilustración de las propiedades del espacio y del tiempo en la teoría de la relatividad especial. Permite obtener una comprensión cualitativa de los fenómenos correspondientes, como la dilatación del tiempo y la contracción de Lorentz, sin necesidad de ecuaciones matemáticas.

Son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consiste en una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico de distancia-tiempo habitual, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida del tiempo y del espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con respecto a los ejes del diagrama.

De esta manera, cada objeto, como un observador o un vehículo, traza una cierta línea en el diagrama, que se llama su línea de universo. Además, cada punto del diagrama representa una cierta posición en el espacio y el tiempo, y se denomina evento, independientemente de que ocurra algo relevante allí.

Conceptos básicos

Gráficos de posición en función del tiempo

Ejemplo de un gráfico espacio-tiempo

En el estudio de la cinemática unidimensional, los gráficos de posición frente al tiempo (también llamados gráficos de distancia-tiempo, o gráficos d-t) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características específicas del movimiento de los objetos se muestran mediante la forma y la pendiente de las líneas.[1]​ En la figura adjunta, el objeto observado se aleja del origen a una velocidad uniforme de 1.66 m/s durante seis segundos, se detiene durante cinco segundos, y luego regresa al origen durante un período de siete segundos a una velocidad no constante.

Diagramas espacio-tiempo

En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo frente a la posición, con las direcciones de los ejes de un gráfico d-t habitual, intercambiadas entre sí. De esta forma, el eje vertical se refiere a los valores de la coordenada temporal, y el eje horizontal indica el valor de la coordenada espacial. Especialmente cuando se usan en teoría de la relatividad especial (TRE), los ejes temporales de un diagrama espacio-tiempo se escalan por la velocidad de la luz c, y por lo tanto, son frecuentemente etiquetados como ct. Esto cambia la dimensión de la cantidad física con la que se mide el <Tiempo> por una <Longitud>, de acuerdo con la dimensión asociada a los ejes espaciales, que se etiquetan frecuentemente como x.

Configuración estándar

Diagrama galileano de dos marcos de referencia en configuración estándar

Para facilitar la comprensión de cómo se comparan las coordenadas del espacio-tiempo, medidas por observadores en diferentes marcos de referencia, es útil trabajar con una configuración simplificada.Interpretando cuidadosamente los diagramas, es posible simplificar las matemáticas inherentes al movimiento sin pérdida de generalidad en las conclusiones que se alcanzan. Dejando a un lado el componente temporal por el momento, dos sistemas de referencia inerciales (es decir, dos marcos situados en el espacio tridimensional convencional), S y S'(pronunciado "S prima"), cada uno con los observadores O y O' en reposo en sus respectivos marcos, pero observando al otro moverse con velocidades ±v, se dice que se hallan en una configuración estándar, cuando:

  • Los ejes x, y, z del marco S están orientados en paralelo a los respectivos ejes de coordenadas asociados al cuadro S'.
  • El marco S′ se mueve en la dirección x del marco S con una velocidad constante v según se mide desde el marco S
  • La posición de los orígenes de los marcos S y S' coincide para el tiempo t=0 en el cuadro S y t′=0 en el cuadro S′.[2]:107

Esta configuración espacial se muestra en la figura adjunta, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado, al igual que las cantidades t y t'.

En un paso adicional de simplificación, a menudo es posible considerar solo la dirección del movimiento observado e ignorar las otras dos componentes espaciales, permitiendo que x y ct se representen en diagramas espaciotemporales bidimensionales, como se ha comentado anteriormente.

Diagramas de Minkowski

El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama de espacio-tiempo que se usa con frecuencia en la relatividad especial. El término se usa tanto en un sentido genérico como particular. En general, un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una parte del espacio-tiempo de Minkowski, generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera tal que el cono de luz en un evento consiste en las líneas de pendiente más o menos uno que pasan a través del punto de la gráfica asociado a ese evento.[3]​ Las líneas horizontales corresponden a la noción usual de eventos simultáneos para un observador estacionario con respecto al origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz. La transformación de Lorentz relaciona dos marcos de referencia, cuando un observador estacionario en el evento (0, 0) realiza un cambio de velocidad en el eje x. El nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior, con α < π/4 (es decir, α < 45°). En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se sitúan en líneas rectas paralelas a una línea recta inclinada con el ángulo α respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje x. Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto de ejes en desplazamiento tienen la propiedad de que son ortogonales con respecto al espacio-tiempo de Minkowski o al producto con punto relativista.

Sea cual sea la magnitud de α, la línea t=x forma el bisector del universo observable.[4]

Por ejemplo, las unidades de medida del espacio y del tiempo en los ejes pueden tomarse como uno de los pares siguientes:

De esta manera, las trayectorias de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los dos ejes, es decir, líneas rectas con pendiente 1, o lo que es lo mismo, inclinadas 45°.